무한 호텔에 여러분을 초대합니다 (무한의 개념)

수포자, 수학 포기자의 줄인 말인데요, 수학에서도 어려운 포인트는 여러 가지 있어요.

그중 오늘은 무한에 대해 얘기해볼게요.

 

무한은 정해진 수가 아닌 하나의 개념으로서, 굉장히 추상적이면서 현실에서 볼 수 없는 것이죠.

 

어떤 사람은 모래알의 개수, 또는 원자의 개수 등으로 비유하지만, 실제로는 맞지 않아요.

 

그래서 저는 독일의 수학자 데이비드 힐버트 David Hilbert의 무한 호텔을 좋아하는데, 이는 무한의 개념을 머릿속에서 굴린 일종의 사고실험이었어요.

 

긴말 말고 바로 갑시다.

 

여러분은 무한히 크고 방이 무한히 많은 무한 호텔 앞에 있습니다.

 

어느 날, 이 호텔은 무한히 많은 투숙객에 의해 꽉 찼고, 지배인은 흡족해했습니다.

 

하지만 한 명의 투숙객이 더 들어왔고, 지배인은 방법을 생각해냈어요.

 

모든 손님이 자신의 방 번호 +1 번호의 방으로 옮기는 것이었죠.

 

이로써 1번 방이 비게 되었고, 한 명의 손님을 더 받을 수 있게 되었죠.

 

이뿐만 아니라 이제는 몇 명의 손님이 더 와도 상관없었어요.

 

하지만 이번에는 무한히 많은 또 다른 손님이 찾아왔어요.

 

지배인은 이번에도 기발한 방법을 떠올렸어요.

 

그건 바로 모든 기존 손님들이 자신의 방 번호 x2 번호의 방으로 옮기는 것이었죠.

 

기존 손님은 짝수 방에, 새로운 손님은 홀수 방에 들어가는 식으로 지배인은 또다시 성공했어요.

 

하지만 호텔이 유명해진 탓에 이번에는 무한히 많은 손님이 탄 버스가 무한히 많이 들어왔어요.

 

손님들에게 무한 번 방을 교체하라고 할 수 없는 노릇이고, 지배인은 새로운 방법을 생각했어요.

 

그것은 바로 소수, 즉 1과 자신으로밖에 나누어지지 않는 수를 사용하는 것이었는데, 유클리드에 의해 소수는 무한히 많다는 게 밝혀진 상황이었고, 지배인은 이를 활용하기로 한 거죠.

 

모든 기존 손님은 2^(자신의 방 번호) 버스에 탄 손님은 3(2바로 다음 소수)^(들어가는 순서)의 방에 묵게 함으로써 모든 손님이 각기 다른 방을 배정받았어요.

 

몇몇 방은 비게 되었지만, 무한 호텔인데 문제 될 게 뭐가 있겠어요?

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이 사고실험은 자연수의 무한한 성질을 정말 잘 보여줘요.

 

사실 자연수는 무한집합 중에서도 가장 작은 집합으로, 셀 수 있는 무한히라고 알려져 있기도 해요.

 

혹시 무한이 뭔지 설명해야 하는 상황이 온다면, 무한 호텔을 사용하는 것도 나쁘지 않을 듯하네요.